很多时候，我们走在城市的大街上，低头看马路，都在想，为什么马路上，非机动车道上有那么多圆形的井盖。虽然这并没有影响太多交通，但总觉得路上这么多坑坑洼洼的不好看。所以观察力敏锐的同志会问一个问题？为什么几乎所有的井盖都是大大小小的圆形，而其他形状的井盖却很少？
微软提出了棘手的问题。
你们可能都知道，这样一个看似无厘头的问题，是一个经典的面试问题。据说这个问题可以从各方面来回答。有人说是因为圆形井盖便于运输，而且边角不易磕碰，这话没错。与三角形相比，正方形确实有这个优势。有人说圆形井盖受力时，会把力均匀分散，不会聚集在某个位置，不容易造成边缘开裂。这也是事实。还有人从哲学角度解释，圆井盖多，是因为井口本身是圆的。本来井盖就是圆的，这是理所当然的。
但是小然君还是想从数学的角度来考虑这个问题。
圆形井盖
井盖是维持城市生活正常运转的重要设施。如果坏了或者被偷了，对这方面的人影响很大，甚至会导致生命安全事故。防盗，现在已经不是金属材质了，真的没有太大的经济价值。即使井盖没被偷，也不可能直接从井口掉下来。没错，在数学上，大部分井盖造成圆形，就是为了不让井盖掉进井里。
井盖大多是圆形的。
让我们做一个实验。我们用一个正三角形和一个正方形做井盖，翻过来看能不能从井口掉下来。这里需要注意的是，其实井口会比井盖略大，这样保证了井盖在井口可以是圆形的。但这一点点相对于整个井盖的大小来说微不足道，所以在分析中可以忽略不计。
与井口井盖的结构关系
对于三角形井盖，当你准备将正三角形放入井口时，我们将井盖垂直放置，我们很快发现，如果你偏转一定角度以避免井盖的最长边长接触井口，三角形井盖很容易穿过井口而不接触井口边缘的任何位置。有一段时间，我们可能不知道哪个长度决定了我们能不能掉进井口，所以我们从各个角度去尝试。
三角形井盖不可行。
很快我们发现，根本原因是正三角形的高度小于边长，也就是说hc。
三角形的正高与边长的关系
既然三角形不行，那正方形呢？
于是我们重复了上面的操作，很快我们发现在下落的过程中还是可以让方块完全落入井口的。但是，这里的长度关系并不是上面的身高和边长的关系。
方形也不可行。
我们会在下落的过程中旋转角度。从多个方向尝试后，发现正方形的对角线大于其边长，即ac。所以每次我们总能把方块翻过来，让它在对角线长度内落入井口。
正方形边长与对角线的关系
换成长方形怎么样？其实是一样的。
啊，因为勾股定理存在，对角线的长度适中都会比任何一个边要长。所以矩形也可以完全不触碰井盖边缘就落进井底。这个时候我们尝试了三角形，正方形，接下来，我们再来考察一下正五边形。有了前面两种情况的分析，我们发现，井盖是否能够落入井口的根本原因是对角线与高的长度关系。因此我们不必再做实验进行分析，我们画出正五边形来，通过理论来计算一下正五边形对角线和高的关系。
正五边形
正五边形对角线与高 的关系
通过对正五边形的考察，从一开始我们列出的等式可以发现这个问题的本质，我们发现，当边的数量越多时，对角线和高就越接近。
当高与对角线的长度差距越大时，越容易掉落井口里，因为在落下的过程中，可以翻转的角度和空间越多。当高与对角线的长度逐渐逼近时，此时在落下的过程中，翻转角度就显得不是那么容易实现了。
推广到无穷多边形时，满足条件的井盖自然是圆形的
于是，我们很自然地推广到，当边数无穷大的时候，也就是圆时，此时，高和对角线会越来越接近，到最后就分不清多边形的高和对角线了。因此我们无论怎么翻转圆形井盖，圆始终都会与井盖牢牢卡住，从而掉不进去。
那么现在问题来了，是不是只有圆形井盖落不到井口下面去？当然不是，圆形并不是能否掉落井盖的根本原因，根本原因在于那句话。
只要在翻转图形的过程中，图形宽度始终保持一致即可。
圆形在任何角度上观察，图形占据的宽度都是相同的，这样就导致了圆形在下落过程中，翻转动作以规避井口的操作无效。我们把这种性质叫作等宽性，只要我们能再找出一种满足等宽性的图形，那就可以新发明一种“井盖”了。
莱洛三角形画法
莱洛三角形滚动
你可能在某些场合见过下面这样的图形。画法也很简单，将3个等半径的圆以对称中心120度间隔相交而成的圆弧三角形，这种三角形看似胖胖憨憨，但是却有着不同寻常的性质。你用一对平行线在任何角度去测量其宽度，宽度都是一致的。这种三角形叫作莱洛三角形，这个定义由十九世纪的德国工程师Franz Reuleaux命名。也正是基于这个性质，莱洛三角形是井盖问题一个经典答案。
德国工程师 弗兰兹 莱洛
这个看似简单的胖三角，是最简单的等宽曲线，想象一下这个神奇的性质。在一个平面下安装几个这样的莱洛三角形作为轮子，任你移动平面，你也不会感觉到平面会有丝毫的起伏不稳。这个时候有同学又在疑问了，既然莱洛三角形任意移动宽度始终一致，那可不可以做车轮呢？答案是几乎不可以。为什么呢？
骑上莱洛三角形为轮子的自行车
虽然说莱洛三角形在任何旋转情况下，图形的宽度不会改变，然而其旋转中心点却在实时波动。想象一下，如果骑自行车用莱洛三角形做车轮，前后轮轴承的位置就是旋转中心，而这个中心总是忽高忽低，这样这个车可以骑，但是在平面上却有着骑跷跷板的感觉，仿佛感觉不是特别美好。不过有人却从这种怪异的胖三角形里得出灵感来，创造了一件伟大的发明。
滚动莱洛三角形时，平面丝毫不动
德国人菲加士·汪克尔注意到莱洛三角形在直线上翻转时，上下宽度总是一样，旋转中心是中间区域的一个小圆形。如果以莱洛三角形为转子，在这个转子中间再加上偏心轴，再构造一个特定的腔体，不就可以规避掉旋转过程中心波动问题，并且还可以使得转子持续转动下去做功了么？
转子发动机发明人 菲加士·汪克尔
然而莱洛三角形是有3个明显的角的，这3个尖角在实际加工过程中是不容易实现的，而且转子在高速转动时，必然会带来更多的磨损，因此用尖角是不可行的。于是汪克尔采用了变形了的莱洛三角形，也就是让一个圆在原先的莱洛三角形边上滚动一圈，以这个圆的最大边缘的轨迹重新构造一个改进的莱洛三角形。可以想象，若这个外围的圆相对于莱洛三角形的直径越大，最后的轨迹就将越圆滑。我们仍然可以证明这样的曲线是等宽曲线，因此用这样的圆滑莱洛三角形来作为发动机转子将更加适合。
转子发动机模型
理论上可行了，但是在实际加工制造过程中，汪克尔还要克服各种各样的问题才有可能让转子发动机成为现实。1927年，汪克尔在经过无数次试验过后，基本上解决了诸如气密性和润滑等的一系列技术问题。1967年，日本东洋公司第一次把转子发动机批量装在汽车上，后来让转子发动机大放异彩的还是执着的马自达公司，几十年来一直锲而不舍研究。马自达公司在1991年6月23日创造了历史，在当天进行的勒芒24小时耐力赛上，搭载转子引擎的马自达787B赛车以领先第二名两圈的巨大优势夺冠！
创造历史的马自达神车 787B
虽然转子发动机也有燃烧不充分，污染严重，油耗高等缺点，但是它却跟传统的活塞发动机有着巨大的不同，小小的体积可以迸发出惊人的动力。它的出现的确给人们在动力的追求上带来了耳目一新的感觉，原来发动机还可以长这样。
扫地机外形也是莱洛三角形
为什么井盖基本上都是圆形的？这个问题真的可以有千百种答案，每一种答案都可以是让人信服的。我们单纯从数学角度来出发，却引申出了如此多的经典结论，实在是出乎人们的意料。知道了井盖的原理之后，我们发现了莱洛三角形，从莱洛三角形的特点中我们提出了等宽曲线的概念，再到后面将莱洛三角形实践化造出了转子发动机。
相信井盖的科学还会一直延续下去的。
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